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Glossar für Stochastik und Statistik

Anmerkungen

Hier zu finden ist der studentische Versuch einen Überblick über Terme und Definitionen der Stochastik/Statistik zu erstellen.

Dieses Dokument wurde im Zusammenhang mit Mathematik C4 erstellt. Bei Fehlern oder Verbesserungsvorschlägen, gerne mir schreiben.

WORK IN PROGRESS„, NOCH UNVOLLSTÄNDIG!

Letzte Änderung: Sun May 19 16:16:45 2019.

Definitionen

Absolute Häufigkeit Hn(E)H_n(E)

Wie ob bei einem Experiment, welches nn mal wiederholt wird, ein Ereignis eingetreten ist.

Absolute Momente

Verallgemeinerung des Erwartungswerts (Fall k=0k = 0), für k{1,2,3}k \in \left\{ 1, 2, 3 \right\} mit mk=mk(P)=Σxχxkf(x). m_k = m_k(P) = \Sigma_{x\in\chi} x^k f(x).

Falls mkm_k divergiert, existiert das kteMomentk-te Moment für diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht.

Siehe auch Momenterzeugende Funktion.

Allgemeine Additionsregel

Aus den Axiome der Wahrscheinlichkeitsfunktion lässt sich für ggf. Disjunkte Ereignisse AA und BB, P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) berechnen.

Axiome der Wahrscheinlichkeitsfunktion

Es gilt für alle AAA \in \mathcal{A} einer Mengenalgebra:

  1. 0P(A)10 \leq P(A) \leq 1
  2. P(Ω)=1P(\Omega) = 1
  3. P(A+B)=P(A)+P(B)P(A + B) = P(A) + P(B), für Disjunkte Ereignisse AA und BB.

Aus diesen lässt sich die Allgemeine Additionsregel für Ereigniswahrscheinlichkeiten berechnen.

Bayes’ Formel

Für ein Ereignis AA und eine Partition BnB_n gilt P(BkA)=P(ABk)P(Bk)Σn(ABn)P(Bn). P(B_k|A) = \frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\Sigma_n(A|B_n)P(B_n)}.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Für zwei Wahrscheinlichkeiten AA und BB aus einem Wahrscheinlichkeitsraum, ist P(AB)=P(AB)P(B) P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} die bedingte Wahrscheinlichkeit von AA unter der Bedingung BB.

Bernoulli-Experimente

Ein Bernulli-Experiment mit der „Erfolgswahrscheinlichkeit pp“ ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω0,A0,P0)(\Omega_0, \mathcal{A}_0, P_0) mit:

  • Ω0={0,1}\Omega_0 = \left\{ 0, 1 \right\}
  • A0=2Ω0\mathcal{A}_0 = 2^{\Omega_0}
  • P{1}=pP\{1\} = p

Es ist die Grundlage von Bernulli-Versuchsreihen.

Bernulli-Versuchsreihe

Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment nn mal, nennt man dieses eine Bernulli-Versuchsreihe (Ωn,An,Pn)(\Omega_n, \mathcal{A}_n, P_n) der Länge nn, mit Ωn={(δ1,δ2,,δn)    δi{0,1}}. \Omega_n = \left\{ (\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n) \;|\; \delta_i \in \left\{ 0, 1 \right\} \right\}.

Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses Ak=(δ1,δ2,,δn)A_k = (\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n) beträgt dann Pn(Ak)=(nk)pk(1p)nk, P_n(A_k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}, für k=0,1,,nk = 0, 1, \ldots, n.

Binomial Verteilung B(k,n,p)\mathcal{B}(k, n, p)

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf {0,1,2,,n}\{0, 1, 2, \ldots, n\} mit f(k)=(nk)pk(1p)nk f(k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}

Siehe auch Bernoulli-Experiment, Bernulli-Versuchsreihe.

Binomialkoeffizient

Beschreibt Anzahl der Möglichkeiten ohne Beachtung der Reihenfolge kk Elemente aus einer Menge von nn Elementen zu ziehen (eg. „Urnenmodell“).

(nk)=n!k!(nk)! \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion

Eine Funktion f:ΩRf: \Omega \rightarrow \mathbb{R} einer Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit f(ω)=P({ω}) f(\omega) = P(\{ \omega \})

Siehe auch Laplace Verteilung, Hypergeometrische Verteilung, Binomial Verteilung, Geometrische Verteilung, Poission Verteilung.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P)(\Omega, \mathcal{A}, P) mit abzählbarem Ω\Omega und A=2Ω\mathcal{A} = 2^{\Omega}.

Ereignis

Eine Situation, wo man nicht eindeutig vorhersagen kann, ob es Eintritt oder nicht. Durch Durchführung eines Experiments, kann dieses bestimmt werden.

Ein Ereignis ist eine Teilmenge einer Ergebnisraums.

Ergebnismenge Ω\Omega

(auch. Ereignisraum) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse.

Erwartungswert

Der Erwartungswert (auch (statistischer) Mittelwert, Schwerpunkt) ist durch m1=m1(P)=Σxχxf(x)< m_1 = m_1(P) = \Sigma_{x \in \chi} x f(x) < \infty definiert, für eine Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung PP mit Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion ff, mit χR\chi \subset \mathbb{R}. Wenn m1m_1 gegen ∞ divergiert, besitzt PP keinen Mittelwert.

Siehe auch Absolute Momente (Verallgemeinerung).

TODO Übersicht von Mittelwerten

Wsk. Funktion Mittelwert
Poission Verteilung μ\mu
Geometrische Verteilung 1p\frac{1}{p}

Erzeugende Funktion

Für eine Wahrscheinlichkeitsfunktion f(n)f(n) ist die Funktion f^(z):=Σn=0f(n)zn,0z1 \hat{f}(z) := \Sigma_{n=0}^{\infty} f(n)z^n, \quad 0 \geq z \geq 1 die erzeugende Funktion von der Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung PP.

Experiment

Gedächnisslosigkeit

Eine Versuchsreihe A1,A2,A_1, A_2, \ldots ist Gedächtnislos, wenn für alle m,n=0,1,2,m, n = 0, 1, 2, \ldots gilt P(Am+nAm)=P(An). P(A_{m+n}|A_m) = P(A_n).

Geometrische Verteilung G(p)\mathcal{G}(p)

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf {1,2,,n}\{1, 2, \ldots, n\} mit f(n)=p(1p)n1 f(n) = p(1-p)^{n-1}

Beschreibt das erstmalige eintreten nach nn Versuchen eines Ereignisses unter Annahme der Gedächnisslosigkeit.

Gesetz der Großen Zahlen

Das empirische Phänomen das für zunehmend Häufig durchgeführte Experimente, die Relative Häufigkeit Hn(E)H_n(E) sich der Wahrscheinlichkeit P(E)P(E) annähert.

Hypergeometrische Verteilung H(N,K,n)\mathcal{H}(N, K, n)

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf {0,1,2,,n}\{0, 1, 2, \ldots, n\} mit f(k)=(Kk)(NKnk)(Nn) f(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

Beschreibt Wahrscheinlichkeiten wie „kk schwarze Kugeln unter nn gezogenen“. Siehe auch Binomialkoeffizient.

Laplace Experiment

In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P)(\Omega, \mathcal{A}, P), wo Ω eine endliche Menge ist, A\mathcal{A} alle Teilmengen von Ω enthält, und für PP P(A)=AΩ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} gilt.

Laplace Verteilung L(Ω)\mathcal{L}(\Omega)

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω mit f(ω)=1Ω f(\omega) = \frac{1}{|\Omega|}

Siehe auch Laplace Experiment.

Mengenalgebra

Eine Menge A\mathcal{A} für die Gilt

  1. ΩA\Omega \in \mathcal{A}
  2. AAAˉAA \in \mathcal{A} \Rightarrow \bar{A} \in \mathcal{A}
  3. A,BAABAA, B \in \mathcal{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{A}

Die kleinste Mengenalgebra muss dementsprechend A={Ω,}\mathcal{A} = \left\{ \Omega, \emptyset \right\} sein. Außerdem sind diese unter Vereinigung, Disjunktion und Durchschnittsbildung geschlossen.

Momenterzeugende Funktion

Für Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung PP mit Ω=χ[0,)\Omega = \chi \subset [0, \infty), ist M(t)=Σxχetxf(x),t>0 M(t) = \Sigma_{x\in\chi} e^{tx}f(x), t > 0 die momenterzeugende Funktion von PP.

Leitet man diese Funktion kk mal ab, bekommt man für M(k)(0)M^{(k)}(0), das kk’te Absolute Momente.

Partitionen

Eine Folge von Ereignissen BnAB_n \in \mathcal{A} die paarweise disjunkt sind heißen Partitionen.

Poission Verteilung P(k,μ)\mathcal{P}(k, \mu)

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf {0,1,2,,n}\{0, 1, 2, \ldots, n\} mit f(k)=μkk!eμ,μ>0 f(k) = \frac{\mu^k}{k!} e^{-\mu}, \mu > 0

Beschreibt das eintreten eines Ereignis das zu zufälligen Zeitpunkten eintritt.

Relative Häufigkeit Rn(E)R_n(E)

Prozentsatz von nn Versuchen eines Experiments, bei denen ein Ereignis eingetreten ist.

Über die Absolute Häufigkeit als Rn(E)=Hn(E)nR_n(E) = \frac{H_n(E)}{n} definierbar.

Sigma-Algebra (σ-Algebra)

Eine Mengenalgebra mit der Eigenschaft A\mathcal{A} (k=1Ak)A \left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right) \in \mathcal{A} für alle Folgen A1,A2,AA_1, A_2, \ldots \in \mathcal{A}

Statistischer Mittelwert

Stochastisch Unabhängig

Zwei Bedingte Wahrscheinlichkeiten AA und BB aus einem Wahrscheinlichkeitsraum sind stochastisch unabhängig wenn P(AB)=P(A)P(B) P(A \cap B) = P(A)P(B) gilt.

Allgemein, wenn für alle Kombinationen von A1,A2,,AnA_1, A_2, \ldots, A_n gilt P(AαAβAζ)=P(Aα)P(Aβ)P(Aζ) P(A_{\alpha} \cap A_{\beta} \cap \ldots \cap A_{\zeta}) = P(A_{\alpha}) P(A_{\beta}) \cdots P(A_{\zeta}) redet man von globaler stochastischer Unabhängigkeit.

Varianz

Beschreibung der mittleren (quadratischen) Abweichung der Ergebnisse vom Erwartungswert. Analog zum zweitem Absolutem Moment.

Berechnet mit m^2=m^2(P)=Σxχ(xm1(P))2f(x) \hat{m}_2 = \hat{m}_2(P) = \Sigma_{x\in\chi}(x-m_1(P))^2 f(x)

TODO Übersicht von Varianzen

Wsk. Funktion Mittelwert
Poission Verteilung μ\mu
Geometrische Verteilung p(p1)2\frac{p}{(p-1)^2}
   

Verbundereignisse

Ereignisse, welche durch und, oder verknüpft oder durch nicht negiert werden, beschreiben neue Ergebnisse.

Mit der Mengendarstellung von Ereignissen, kann AB={ωΩ    ωA  oder  ωB} A \cup B = \left\{ \omega \in \Omega \;|\; \omega \in A \;\text{oder}\; \omega \in B \right\} AB:=AB={ωΩ    ωA  und  ωB} AB := A \cap B = \left\{ \omega \in \Omega \;|\; \omega \in A \;\text{und}\; \omega \in B \right\} Aˉ={ωΩ    ωA} \bar{A} = \left\{ \omega \in \Omega \;|\; \omega \notin A \right\} formuliert werden. Sind AA und BB disjunkt, kann ABA \cup B auch A+BA + B geschrieben werden.

Wahrscheinlichkeit

Zahlenmäßige Bewertung dass ein Ereignis eintritt.

Wahrscheinlichkeitsfunktion P(E)P(E)

Mathematische Bezeichnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Teil einer Mengenalgebra A\mathcal{A}, in Form einer Abbildung einer A[0,1]R\mathcal{A} \rightarrow [0, 1] \subset \mathbb{R}.

Es gelten die Axiome der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Wahrscheinlichkeitsraum

Ein Tupel (Ω,A,P)(\Omega, \mathcal{A}, P) bestehend Ergebnismenge Ω\Omega, σ-Algebra und einer Wahrscheinlichkeitsfunktion PP.

Zentrale Momente

Für k=2,3,k = 2, 3, \ldots wird m^k(P)=Σxχ(xm1(P))kf(x) \hat{m}_k(P) = \Sigma_{x\in\chi}(x-m_1(P))^k f(x) das kk’te zentrale Momente von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung PP genannt.

Siehe auch Absolutes Moment.

Zufallsexperiment

Ein konkreter oder in Gedanken durchführbarer Vorgang, der sich unter den gleichen Umständen wiederholen lässt. Vor der Ausführung lässt sich nicht sagen zu welchem Ereignis das Experiment führen wird.

Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable XX beschreibt ein Urbild im Definitionsbereich einer Wahrscheinlichkeit. So ist (X=y)={ωΩ    X(ω)=y}A, (X = y) = \left\{ \omega \in \Omega \;|\; X(\omega) = y \right\} \in \mathcal{A}, für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Autor: Philip K.

Created: 16:16:45

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