Glossar für Stochastik und Statistik
Anmerkungen
Hier zu finden ist der studentische Versuch einen Überblick über Terme und Definitionen der Stochastik/Statistik zu erstellen.
Dieses Dokument wurde im Zusammenhang mit Mathematik C4 erstellt. Bei Fehlern oder Verbesserungsvorschlägen, gerne mir schreiben.
„WORK IN PROGRESS„, NOCH UNVOLLSTÄNDIG!
Letzte Änderung: Sun May 19 16:16:45 2019.
Definitionen
Absolute Häufigkeit
Wie ob bei einem Experiment, welches mal wiederholt wird, ein Ereignis eingetreten ist.
Absolute Momente
Verallgemeinerung des Erwartungswerts (Fall ), für mit
Falls divergiert, existiert das für diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht.
Siehe auch Momenterzeugende Funktion.
Allgemeine Additionsregel
Aus den Axiome der Wahrscheinlichkeitsfunktion lässt sich für ggf. Disjunkte Ereignisse und , berechnen.
Axiome der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Es gilt für alle einer Mengenalgebra:
- , für Disjunkte Ereignisse und .
Aus diesen lässt sich die Allgemeine Additionsregel für Ereigniswahrscheinlichkeiten berechnen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Für zwei Wahrscheinlichkeiten und aus einem Wahrscheinlichkeitsraum, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung .
Bernoulli-Experimente
Ein Bernulli-Experiment mit der „Erfolgswahrscheinlichkeit “ ist ein Wahrscheinlichkeitsraum mit:
Es ist die Grundlage von Bernulli-Versuchsreihen.
Bernulli-Versuchsreihe
Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment mal, nennt man dieses eine Bernulli-Versuchsreihe der Länge , mit
Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses beträgt dann für .
Binomial Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion auf mit
Siehe auch Bernoulli-Experiment, Bernulli-Versuchsreihe.
Binomialkoeffizient
Beschreibt Anzahl der Möglichkeiten ohne Beachtung der Reihenfolge Elemente aus einer Menge von Elementen zu ziehen (eg. „Urnenmodell“).
Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion
Eine Funktion einer Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit
Siehe auch Laplace Verteilung, Hypergeometrische Verteilung, Binomial Verteilung, Geometrische Verteilung, Poission Verteilung.
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
Ein Wahrscheinlichkeitsraum mit abzählbarem und .
Ereignis
Eine Situation, wo man nicht eindeutig vorhersagen kann, ob es Eintritt oder nicht. Durch Durchführung eines Experiments, kann dieses bestimmt werden.
Ein Ereignis ist eine Teilmenge einer Ergebnisraums.
Erwartungswert
Der Erwartungswert (auch (statistischer) Mittelwert, Schwerpunkt) ist durch definiert, für eine Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion , mit . Wenn gegen ∞ divergiert, besitzt keinen Mittelwert.
Siehe auch Absolute Momente (Verallgemeinerung).
TODO Übersicht von Mittelwerten
Wsk. Funktion | Mittelwert |
---|---|
Poission Verteilung | |
Geometrische Verteilung |
Erzeugende Funktion
Für eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Funktion die erzeugende Funktion von der Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung .
Experiment
Siehe Zufallsexperiment.
Gedächnisslosigkeit
Eine Versuchsreihe ist Gedächtnislos, wenn für alle gilt
Geometrische Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion auf mit
Beschreibt das erstmalige eintreten nach Versuchen eines Ereignisses unter Annahme der Gedächnisslosigkeit.
Gesetz der Großen Zahlen
Das empirische Phänomen das für zunehmend Häufig durchgeführte Experimente, die Relative Häufigkeit sich der Wahrscheinlichkeit annähert.
Hypergeometrische Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion auf mit
Beschreibt Wahrscheinlichkeiten wie „ schwarze Kugeln unter gezogenen“. Siehe auch Binomialkoeffizient.
Laplace Experiment
In einem Wahrscheinlichkeitsraum , wo Ω eine endliche Menge ist, alle Teilmengen von Ω enthält, und für gilt.
Laplace Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω mit
Siehe auch Laplace Experiment.
Mengenalgebra
Eine Menge für die Gilt
Die kleinste Mengenalgebra muss dementsprechend sein. Außerdem sind diese unter Vereinigung, Disjunktion und Durchschnittsbildung geschlossen.
Momenterzeugende Funktion
Für Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit , ist die momenterzeugende Funktion von .
Leitet man diese Funktion mal ab, bekommt man für , das ’te Absolute Momente.
Partitionen
Eine Folge von Ereignissen die paarweise disjunkt sind heißen Partitionen.
Poission Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion auf mit
Beschreibt das eintreten eines Ereignis das zu zufälligen Zeitpunkten eintritt.
Relative Häufigkeit
Prozentsatz von Versuchen eines Experiments, bei denen ein Ereignis eingetreten ist.
Über die Absolute Häufigkeit als definierbar.
Sigma-Algebra (σ-Algebra)
Eine Mengenalgebra mit der Eigenschaft für alle Folgen
Statistischer Mittelwert
Siehe Erwartungswert.
Stochastisch Unabhängig
Zwei Bedingte Wahrscheinlichkeiten und aus einem Wahrscheinlichkeitsraum sind stochastisch unabhängig wenn gilt.
Allgemein, wenn für alle Kombinationen von gilt redet man von globaler stochastischer Unabhängigkeit.
Varianz
Beschreibung der mittleren (quadratischen) Abweichung der Ergebnisse vom Erwartungswert. Analog zum zweitem Absolutem Moment.
Berechnet mit
TODO Übersicht von Varianzen
Wsk. Funktion | Mittelwert |
---|---|
Poission Verteilung | |
Geometrische Verteilung | |
Verbundereignisse
Ereignisse, welche durch und, oder verknüpft oder durch nicht negiert werden, beschreiben neue Ergebnisse.
Mit der Mengendarstellung von Ereignissen, kann formuliert werden. Sind und disjunkt, kann auch geschrieben werden.
Wahrscheinlichkeit
Zahlenmäßige Bewertung dass ein Ereignis eintritt.
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Mathematische Bezeichnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Teil einer Mengenalgebra , in Form einer Abbildung einer .
Es gelten die Axiome der Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Wahrscheinlichkeitsraum
Ein Tupel bestehend Ergebnismenge , σ-Algebra und einer Wahrscheinlichkeitsfunktion .
Zentrale Momente
Für wird das ’te zentrale Momente von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.
Siehe auch Absolutes Moment.
Zufallsexperiment
Ein konkreter oder in Gedanken durchführbarer Vorgang, der sich unter den gleichen Umständen wiederholen lässt. Vor der Ausführung lässt sich nicht sagen zu welchem Ereignis das Experiment führen wird.
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable beschreibt ein Urbild im Definitionsbereich einer Wahrscheinlichkeit. So ist für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.