\documentclass[11pt,a4paper]{scrartcl}
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\begin{document}
\begin{center}
	\Large
	\textbf{Zusammenfassung Mathe C1}
\end{center}
\begin{itemize}
	\item Diverses
	\begin{itemize}
		\item $a \rightarrow b \Leftrightarrow \neg a \lor b \Leftrightarrow \neg b \rightarrow \neg a$
		\item Potenzmenge $P (M) \coloneqq$ Menge aller Teilmengen von $M$
		\item $|P(M)| = 2^{|M|}$
		\item Kommutativität:
		$a * b = b * a$
		\item Assoziativität:
		$(a * b) * c = a * (b * c)$
		\item Neutrales Element $e$: $e * x = x = x * e$ (links- und rechtsneutral)
		\item Inverses Element $y$: $x * y = y * x = e$ (links- und rechtsinvers)
		\item Gruppe: $(M, *)$ assoziativ und hat neutrales Element und jedes $x$ hat inverses Element $y$ (bei Kommutativität sogar Abel'sche Gruppe)
		\item Untergruppen: in sich abgeschlossen (auch bezüglich Inversenbildung)
		\item Körper: Abel'sche Gruppen bezüglich $+$ und $*$ sowie Distributivität
		\item total geordnet: $\leq$ ist vollständige Ordnungsrelation und $a < b \Rightarrow a + c < b + c$ mit $c \geq 0$ sowie $a < b \Rightarrow a*c < b*c$ mit $c > 0$
		\item Umwandlung Bruch in Dezimalzahl: modulo Nenner $\rightarrow$ multiplizieren mit 10 (allgemein: Basis)
		\item Jede rationale Zahl kann als abbrechende oder periodische Dezimalzahl dargestellt werden
		\item Rechengesetze zur Potenz: $a^nb^n = (ab)^n$, $a^na^m = a^{n + m}$, $(a^n)^m = a^{nm}$, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$
		\end{itemize}
	\item Relationen:
	\begin{itemize}
		\item reflexiv: $\forall x: x \sim x$
		\item symmetrisch: $\forall x,y: (x \sim y \Rightarrow y \sim x)$
		\item transitiv: $\forall x,y,z: ((x \sim y \land y \sim z) \Rightarrow x \sim z)$
		\item antisymmetrisch: $\forall x,y: ((x \sim y \land y \sim x) \Rightarrow (x = y))$
		\item alternativ: $\forall x,y: (x \sim y \lor y \sim x)$
		\item Äquivalenzrelation: reflexiv $\land$ symmetrisch $\land$ transitiv
		\item (Totale) Ordnungsrelation: (alternativ $\land$) reflexiv $\land$ antisymmetrisch $\land$ transitiv
		\item Partitionen: Zerlegung einer Menge $M$ in disjunkte Teilmengen (sog. Äquivalenzklassen mit $\forall y \in [M]_x: x \sim y$)
	\end{itemize}
	\item Funktionen:
	\begin{itemize}
		\item Bild(f) $\in$ Wertevorrat
		\item $g \circ f = g(f(x))$
		\item Injektivität: $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
		\item Surjektivität: Bild(f) = Wertevorrat
		\item Bijektivität: Injektivität und Surjektivität
	\end{itemize}
	\item Permutationen:
	\begin{itemize}
		\item $|S_N| = |N|!$
		\item Transposition: Vertauschen von genau 2 Elementen
		\item Inversion: $i < j$ und $f(i) > f(j)$
		\item Signum: $(-1)^{\text{Anzahl der Inversionen}}$
		\item Ziehen:
		\begin{itemize}
			\item mit Zurücklegen und mit Reihenfolge: $n^k$
			\item mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge: $\binom{n + k -1}{k}$
			\item ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge: $\frac{n!}{(n-k)!}$
			\item ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$
		\end{itemize}
	\end{itemize}
\item Trigonometrie:
	\begin{itemize}
		\item Einheitskreis: $cos(\alpha) = x$, $sin(\alpha) = y$
		\item $tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$
		\item Additionstheoreme:
		\begin{itemize}
			\item $sin(\alpha \pm \beta) = sin(\alpha) * cos(\beta) \pm cos(\alpha) * sin (\beta)$
			\item $cos(\alpha \pm \beta) = cos(\alpha) * cos(\beta) \mp sin(\alpha) * sin(\beta)$
		\end{itemize}
		\item Symmetrien:
		\begin{itemize}
			\item $sin(-x) = sin(x)$
			\item $cos(-x) = - cos(x)$
			\item $tan(-x) = - tan(x)$
		\end{itemize}
		\item Verschiebungen:
		\begin{itemize}
			\item $sin(x + \frac{\pi}{2}) = cos(x)$
			\item $cos(x + \frac{\pi}{2}) = - sin(x)$
		\end{itemize}
		\item $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$
		\item Wichtige Werte:
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline 
			$\alpha$ in $\degree$ & $\alpha$ in rad & $sin(\alpha)$ & $cos(\alpha)$ & $tan(\alpha)$ \\ 
			\hline 
			$0$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$ \\ 
			\hline 
			$30$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\frac{1}{3}\sqrt{3}$ \\ 
			\hline 
			$45$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ & $1$ \\ 
			\hline 
			$60$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\frac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$ \\ 
			\hline 
			$90$ & $\frac{\pi}{2}$ & $1$ & $0$ & - \\ 
			\hline 
			$180$ & $\pi$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ 
			\hline 
			$270$ & $\frac{3\pi}{2}$ & $-1$ & $0$ & - \\ 
			\hline 
		\end{tabular} 
	\end{itemize}
	\item Komplexe Zahlen:
	\begin{itemize}
		\item $z = Re(z) + i * Im(z) = |z| * (cos(arg(z)) + i * sin(arg(z))$
		\item Betrag $|z| = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}$
		\item Addition: $z = x + y = Re(x) + Re(y) + i * (Im(x) + Im(y))$
		\item Multiplikation: $z = x * y = (a_1 + i * b_1) * (a_2 + i * b_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i * (a_1 b_2 + b_1 a_2)$ oder (in Polarkoordinaten) $z = x * y = |x| * |y| * (cos(arg(x) + arg(y)) + i * sin(arg(x) + arg(y)))$
		\item Potenzieren: $z^n = |z|^n * (cos(n * arg(z)) + i * sin (n * arg(z)))$
		\item n-te Wurzel ziehen: Genau n Wurzeln
		
		$|w_k| = \sqrt[n]{|z|}$, $arg(w_k) = \frac{1}{n} * arg(z) + \frac{2*\pi *k}{n}$ mit $k \in \{0, ..., n -1\}$
		\item Rechenregeln:
		\begin{itemize}
			\item $z * \overline{z} = |z|^2$
			\item $\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$
			\item $Re(z^2) = Re(z)^2 - Im(z)^2$, $Im(z^2) = 2 * Re(z) * Im(z)$
			\item $z + \overline{z} = 2 * Re(z)$
			\item $z - \overline{z} = i * 2 * Im(z)$
			\item $\overline{z_1 * z_2} = \overline{z_1} * \overline{z_2}$
			\item $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$
		\end{itemize}
		\item $arg(z) = tan^{-1}(\frac{Im(z)}{Re(z)})$
		\begin{itemize}
			\item falls $Re(z) < 0$: $\frac{\pi}{2}$ addieren
			\item falls $Re(z) = 0$: $\pm \frac{\pi}{2}$ abhängig vom Vorzeichen von $Im(z)$
		\end{itemize}
		\item Jedes Polynom hat Linearfaktorzerlegung über $\mathbb{C}$: $a_n * \prod^n_{j=1} (z - z_j)$ mit Nullstellen $z_j$
		\item Bei rellen Koeffizienten treten komplexe Nullstellen immer paarweise auf (also einmal $a + i *b$ und einmal $a - i * b$)
		\item Dreiecksungleichung: $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$
		\item inverse Dreiecksungleichung: $||x| - |y|| \leq |x \pm y|$
	\end{itemize}
	\item Vektorräume:
	\begin{itemize}
		\item Eigenschaften:
		\begin{itemize}
			\item $(V, +)$ ist kommutative Gruppe
			\item Assioziativgesetz: $(\lambda\mu) * \vv{x} = \lambda (\mu \vv{x})$
			\item $1 * \vv{x} = \vv{x}$
			\item Distributivgesetze:
			\begin{itemize}
				\item $(\lambda + \mu) \vv{x} = \lambda \vv{x} + \mu \vv{x}$
				\item $\lambda (\vv{x} + \vv{y}) = \lambda \vv{x} + \lambda \vv{y}$
			\end{itemize}
			\item Muss $\vv{0}$ enthalten!
		\end{itemize}
		\item Unterraum $U$, wenn:
		\begin{itemize}
			\item Abgeschlossenheit bezüglich der Vektoraddition: $\vv{x} + \vv{y} \in U$ für alle $\vv{x}, \vv{y} \in U$
			\item Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation: $\alpha \vv{x} \in U$
		\end{itemize}
		\item Lösungsmenge eines homogenen LGS ist immer ein Unterraum und niemals leer (da $\vv{0}$ immer triviale Lösung).
		\item Lösungsmenge eines inhomohenen LGS ist kein Unterraum.
		\item $L_{inhom} = \{x_0\} + L_hom$ mit $x_0$ beliebiges Element von $L_inhom$. $\Rightarrow$ Affiner Raum (Verschiebung um $x_0$)
		\item Basis finden: Abbildungsmatrix der Vektoren,  $span\{\text{Vektoren, in deren Spalte sich eine Stufe bildet}\}$
		\item Dimensionsformel: $U_1, U_2$ Unterräume von $\mathbb{K}^n$: $dim(U_1) + dim(U_2) = dim(U_1 + U_2) + dim(U_1 \cap U_2)$
		\item Direkte Summe: Darstellung jedes Elements von $U$ auf eindeutige Weise als Summer der Elemente von $U_1$ und $U_2$
		\item $U_1 \cap U_2 = \{0\} \Leftrightarrow dim(U) = dim(U_1) + dim(U_2)$
	\end{itemize}
	\item Lineare Algebra:
	\begin{itemize}
		\item Lineare Abbildungen:
		\begin{itemize}
			\item $\forall \vv{x}, \vv{y} \in U: \forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}: f(\alpha \vv{x} + \beta \vv{y}) = \alpha f(\vv{x}) + \beta \vv{y}$
			\item $f(\vv{0}) = \vv{0}$
		\end{itemize}
		\item Lineare Fortsetzung: $f(\vv{x}) = f(\sum_{i=1}^{n}\alpha _i \vv{b_i}) = \sum_{i=1}^{n}\alpha _i f(\vv{b_i})$
		\item Kern: Alle $\vv{x}$, die von $f(\vv{x})$ auf $\vv{0}$ abgebildet werden. Immer Unterraum von $U$ bei $f: U \rightarrow V$
		\item Bild: Alle $y$, auf die $f(x)$ abbildet. Immer Unterraum von $V$ bei $f : U \rightarrow V$
		\item Berechnung Kern: Abbildungsmatrix als LGS mit rechter Seite 0 $\Rightarrow$ Auflösen
		\item Berechnung Bild: Abbildungsmatrix als LGS $\Rightarrow$ Umformen auf Stufenform $\Rightarrow span \{\text{Alle Spalten, in denen sich eine Stufe bildet}\}$
		\item Anzahl an Stufenspalten: $dim(Bild)$
		\item Anzahl an Nichtstufenspalten: $dim(Kern)$
		\item $f$ injektiv $\Leftrightarrow Kern(f) = \{\vv{0}\} \Leftrightarrow f(b_i)$ sind linear unabhängig.
		\item $f$ surjektiv $\Leftrightarrow Bild(f) = V \Leftrightarrow f(b_i)$ Erzeugendensystem von $V$
		\item $f$ bijektiv $\Leftrightarrow f(b_i)$ Basis von $V$
		\item Isomorphie: Abbildung von Basis auf Basis. $dim(U) = dim(V)$; $f$ bijektiv
		\item Matrizen:
		\begin{itemize}
			\item Darstellungsmatrix $A$ zur linearen Abbildung $f$: Jede Spalte $i = f(e_i)$, mit $e$ Einheitsmatrix
			\item $(f+g)(x) = f(x) + g(x) = A + B$
			\item $C = M(f\circ g) = M(f) * M(g)$
			\item Inverse: Existiert nur, wenn $A$ vom Typ 1 ist, dann: $(A|E_n)$ per Gaußumformungen in Form $(E_n|B)$ bringen $\Rightarrow A^{-1} = B$
			\item Transponierte: Vertauschen von Zeilen mit Spalten
			\begin{itemize}
				\item $(A^T)^T = A$
				\item $(AB)^T = B^TA^T$
				\item falls A invertierbar: $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
			\end{itemize}
			\item Rang einer Matrix: $dim(Bild(f)) =$ Anzahl der Stufen (also linear unabhängigen Vektoren)
			\item Zeilenrang  = Spaltenrang
			\item Determinante ("Volumen eines Spats"):
			\begin{itemize}
				\item Normierung: $V(a_1, ..., a_n) = 1$
				\item Multilinearität: $V(a_1, ..., \alpha a_i, ..., a_n) = \alpha V(a_1, ..., a_i, ..., a_n)$
				\item Multilinearität: $V(a_1, ..., a_i + b, ..., a_n) = V(a_1, ..., a_i, ..., a_n) + V(a_1, ..., b, ..., a_n)$
				\item $V = 0$ bei linear abhängigen $a_i$
				\item $det(A) = det(A^T)$
				\item Zeilen/Spalten vertauschen ändert Vorzeichen
				\item $det(\alpha A) = \alpha ^n det(A)$
				\item Berechnung: $n = 3 \Rightarrow$ Sarrus-Regel, sonst: Laplace-Entwicklung nach Zeile/Spalte (mit möglichst vielen 0): Jeweils aktuelle Zeile/Spalte streichen, aktueller Wert $*$ Determinante des Rests (Vorzeichenmuster beachten!)
				\item $det(AB) = det(A) * det(B)$
				\item $det(A^{-1}) = det(A)^{-1}$
				\item keine Formel für $det(A+B)$
			\end{itemize}
			\item Dreiecksmatrix: Produkt der Diagonalelemente
			\item Quadratische Matrizen: $A$ ist $n \times n$-Matrix
			\begin{itemize}
				\item $det(A) \not = 0 \Leftrightarrow$ Spalten/Zeilen linear unabhängig $\Leftrightarrow$ LGS vom Typ 1 (genau eine Lösung) $\Leftrightarrow f$ injektiv $\Leftrightarrow f$ surjektiv $\Leftrightarrow f$ bijektiv $\Leftrightarrow Kern(A) = \{\vv{0}\} \Leftrightarrow Bild(A) = \mathbb{R}^n \Leftrightarrow A$ invertierbar $\Leftrightarrow Rang(A) = n$
			\end{itemize}
		\end{itemize}
	\end{itemize}
	\item Eigenwerte:
	\begin{itemize}
		\item Charakteristisches Polynom $p(\lambda) = det(A - E_n * \lambda) \overset{!}{=} 0$ auflösen zur Bestimmung der Eigenwerte $\lambda_i$
		\item $Eigenraum(\lambda_i) = Kern(A - \lambda_i E_n)$
		\item $Eigenraum(\lambda_1) \cap Eigenraum(\lambda_2) = \{\vv{0}\}$
		\item Produkt aller $\lambda_i = det(A)$
		\item Summer aller $\lambda_i = $ Summe aller Diagonaleinträge (Spur)
		\item algebraische Vielfachheit$(\lambda_i) = $ Exponent von $\lambda_i$ in $p(\lambda)$
		\item geometrische Vielfachheit$(\lambda_i) = dim(Eigenraum(\lambda_i))$
		\item geometrische Vielfachheit$(\lambda_i) \leq $ algebraische Vielfachheit$(\lambda_i)$
		\item Diagonalmatrix: Eigenwerte sind Diagonaleinträge und $Eigenraum(\lambda_i) = E_i$
		\item Diagonalisierung: $A = XDX^{-1}$ mit $D$ als Diagonalmatrix der $\lambda_i$ von A $\Leftrightarrow Eigenwerte(A) = Eigenwerte(D) \Leftrightarrow det(A) = det(D) \Leftrightarrow Eigenraum(A) = X * Eigenraum(D)$ bei gleichem $\lambda_i$
		\item $A \in \mathbb{C}^{n\times n} \Leftrightarrow $ Basis des $\mathbb{C}^n$ aus Eigenwerten von $A$ existiert $\Leftrightarrow $ für alle Eigenwerte $\lambda_i$ von $A$: geometrische Vielfachheit$(\lambda_i) = $ algebraische Vielfachheit$(\lambda_i)$
		\item Eigenwert von A ist Eigenwert$^m$ von $A^m$ mit gleichem Eigenraum 
		\item $A = XDX^{-1} \Rightarrow A^m = XD^mX^{-1}$ mit $D$ Diagonalmatrix der Eigenwerte von $A$ und $X$ mit den korrespondierenden Eigenvektoren als Spalten
		\item Symmetrische Matrizen: $A^T = A$
	\end{itemize}
	\item Skalarprodukt:
	\begin{itemize}
		\item Euklidisches Skalaprodukt:
		\begin{itemize}
			\item $\langle \vv{x}, \vv{y}\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i \overline{y_i} = x^T \overline{y}$ (Konjugiert-komplexes von $y$ muss nur im $\mathbb{C}^n$ verwendet werden)
			\item $\langle \vv{x}, \vv{y}\rangle \Leftrightarrow \vv{x}, \vv{y}$ orthogonal zueinander
		\end{itemize}
		\item Eigenschaften eines Skalarprodukts:
		\begin{itemize}
			\item $\langle \vv{x}, \vv{x}\rangle \geq 0$
			\item $\langle \vv{x}, \vv{x}\rangle \Leftrightarrow \vv{x} = \vv{0}$
			\item $\langle \vv{x}, \vv{y} \rangle = \overline{\langle \vv{y}, \vv{x}\rangle}$
			\item $\langle \alpha \vv{x}, \beta \vv{y}\rangle = \alpha \overline{\beta} \langle \vv{x}, \vv{y} \rangle$
			\item $\langle \vv{x} + \vv{y}, \vv{x}\rangle = \langle \vv{x}, \vv{z}\rangle + \langle \vv{y}, \vv{z} \rangle$
			\item bei Matrizen: $\langle A\vv{x}, B\vv{y}\rangle = \langle B^T \vv{x}, A^T \vv{y}\rangle$
		\end{itemize}
	\end{itemize}
	\item Norm:
	\begin{itemize}
		\item Eigenschaften einer Norm:
		\begin{itemize}
			\item $||\vv{x}|| \geq 0$
			\item $||\vv{x}|| = 0 \Leftrightarrow \vv{x} = \vv{0}$
			\item $||\alpha \vv{x}|| = |\alpha| ||\vv{x}||$
			\item $||\vv{x} + \vv{y}|| \leq ||\vv{x}|| + ||\vv{y}||$
		\end{itemize}
		\item p-Norm: $||\vv{x}|| = \sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} |x_i|^p}$
		\item Euklidische Norm ($p = 2$): $\sqrt{\langle \vv{x}, \vv{x}\rangle}$
		\item Jedes Skalarprodukt erzeugt durch Wurzelziehen eine Norm
		\item Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung: $|\langle \vv{x}, \vv{y}| \leq ||\vv{x}|| ||\overleftarrow{y}||$
		\item Sind alle Basisvektoren $b_i$ orthogonal zueinander, bilden sie ein Orthogonalsystem (bei $||b_i|| = 1$ für alle $b_i$ sogar Orthonormalsystem)
		\item Darstellung bezüglich eines Orthonormalsystems: $\vv{x} = \langle \vv{x}, \vv{b_1}\rangle \vv{b_1} + ... + \langle \vv{x}, \vv{b_n}\rangle \vv{b_n}$
		\item Normberechnung eines in Orthonormalbasis dargestellten Vektors: $||\vv{x}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \langle \vv{x}, \vv{b_i}\rangle ^2}$
		\item Orthogonalprojektion: $\vv{x}_U = \sum_{i=1}^{m} \langle \vv{x}, \vv{b_i}\rangle \vv{b_i}$
		\item Schnittwinkel zweier Vektoren: $cos(\alpha) = \frac{\langle \vv{a}, \vv{b}\rangle}{||\vv{a}|| ||\vv{b}||}$
		\item $Kern(A^T) = Bild(A)^\perp$
		\item $Kern(A^T)^\perp = Bild(A)$
		\item $Kern(A) = Bild(A^T)^\perp$
		\item $Kern(A)^\perp = Bild(A^T)$
	\end{itemize}
	\item Formeln (hilfreich bei Induktionen):
	\begin{itemize}
		\item $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
		\item $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$
		\item $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$
	\end{itemize}
\end{itemize}

\end{document}